Spiros Michalakis, kierownik działu badań w Instytucie Informacji Kwantowej i Materii Caltech (IQIM) oraz Matthew Hastings, pracownik naukowy Microsoftu, rozwiązali jeden z największych problemów otwartych w świecie fizyki matematycznej.
Problem, związany z kwantowym efektem Halla, został po raz pierwszy zaproponowany w 1999 r. jako jeden z 13 nierozwiązanych problemów, które umieszczono na liście prowadzonej przez Michaela Aizenmana, profesora fizyki i matematyki na Uniwersytecie w Princeton oraz byłego przewodniczącego Międzynarodowego Stowarzyszenia Fizyki Matematycznej.
Podobnie jak w przypadku milenijnych wyzwań matematycznych ogłoszonych przez Clay Mathematics Institute (Instytut Matematyki Clay) w 2000 roku, idea tych problemów polegała na podaniu do wiadomości kilku najbardziej kłopotliwych i jednocześnie nierozwiązanych zagadek w fizyce matematycznej – dziedzinie, która używa rygorystycznego matematycznego rozumowania do rozwiązywania problemów fizycznych. Jak dotąd problem podjęty przez Michalakisa jest jedynym w pełni rozwiązanym, a drugi problem jest rozwiązany częściowo. Postępy w częściowo rozwiązanym problemie zaowocowały dwoma medalami Fieldsa, najwyższym możliwym do osiągnięcia zaszczytem w matematyce, zwanym nagrodą Nobla z matematyki.
Mam nadzieję, że rozwiązanie tego problemu rozbudzi zainteresowanie w dziedzinie fizyki matematycznej
– mówi Michalakis.
W fizyce matematycznej szukamy minimalnego zestawu założeń, w ramach których możemy pokazać, jak powstają ważne zjawiska w przyrodzie, a jak to często bywa z dowodami znaczących problemów z matematyki, rozwiązanie prowadzi do nowych pomysłów i technik, dzięki którym otwierają się drzwi do rozwiązania kilku innych ważnych problemów.
Dziwaczne zachowanie elektronów
Oryginalny kwantowy efekt Halla został odkryty w przełomowym eksperymencie Edwina Halla z 1879 roku, który to pokazał jako pierwszy, że prąd elektryczny (różnica potencjałów – red.) w metalu może być odchylany w obecności pola magnetycznego prostopadłego do powierzchni. Później, w 1980 roku, niemiecki fizyk eksperymentalny Klaus von Klitzing przeprowadził oryginalny eksperyment Hall’a w znacznie niższej temperaturze i silniejszym polu magnetycznym, aby dokonać odkrycia, że prąd elektryczny został odchylony w skwantowany sposób. Innymi słowy, wraz ze wzrostem siły pola magnetycznego wzrost przewodnictwa elektrycznego metalu nie był stopniowy ani liniowy, jak przewidywała fizyka klasyczna, ale postępował stopniowo w górę – krok po kroku. Za to odkrycie von Klitzing otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 1985 roku.
To piękny problem
– mówi Hastings.
Zaczęło się od eksperymentów Halla w XIX wieku i von Klitzinga mniej więcej 100 lat po Hallu.
Zadziwiającą cechą kwantowego efektu Halla jest precyzyjna kwantyzacja nawet wtedy, gdy w materiale występują naturalne zanieczyszczenia. Hastings twierdzi, że zanieczyszczenia mogą wpływać na ścieżkę przepływu prądu przez materiały.
Te zanieczyszczenia są w danym materiale rozprowadzane losowo, więc można pomyśleć, że będą miały losowy wpływ na przewodnictwo, tak się jednak nie dzieje.
Dwa lata po odkryciu von Klitzinga eksperymentatorzy Horst Störmer i Daniel Tsui pokazali coś jeszcze bardziej zaskakującego: w ekstremalnych warunkach (w niższych temperaturach i silniejszych polach magnetycznych) konduktancja Halla została skwantyzowana w ułamkowych wielokrotnościach tego, co wcześniej obserwowano. To tak, jakby w jakiś sposób elektrony były rozdzielane na mniejsze cząstki, z których każda niosła ułamek ładunku elektronu. Störmer i Tsui wraz z fizykiem teoretycznym Robertem Laughlinem podzielili się Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki w 1998 r. za swoją pracę nad tym problemem.
Zarówno całkowite, jak i ułamkowe kwantowe efekty Halla wskazują, że elektrony w tych układach działają razem w zunifikowany sposób, pomimo ich normalnych tendencji do zachowywania się jak pojedyncze piłeczki, które odbijają się od siebie nawzajem.
Podejście matematyczne
Michalakis rozpoczął pracę nad tym problemem w 2008 roku w Los Alamos National Laboratory, gdzie jest doktorem habilitowanym z matematyki. Zbudował on swoje badania na pionierskiej pracy Hastingsa, swojego doradcy w tamtym czasie, który opracował nowe narzędzia matematyczne do badania kwantowego efektu Halla, w oparciu o dziesięciolecia badań przeprowadzonych przez innych naukowców. Michalakis mówi, że czytanie całej wcześniejszej literatury okazało się prawie tak samo trudne, jak rozwiązanie samego problemu.
Była to góra badań, które już istniały
– mówi.
Większość z nich wymagała zaawansowanej znajomości fizyki, ponieważ jeśli chodzi o matematykę to musiałem podzielić ten problem na małe kawałeczki, z których każdy mógłbym osobno rozwiązać. Zasadniczo zdecydowałem się dokopać do tej góry wiedzy, aby dostać się na tą drugą stronę.
Kluczem do ostatecznego rozwiązania jest dziedzina matematyki – topologia, która jest sposobem matematycznego opisywania obiektów za pomocą ich kształtów.
Topologia to badanie właściwości kształtów, które nie zmieniają się, gdy kształt jest wygięty lub rozciągnięty
– mówi Hastings.
Pomysł na to, że za pomocą metod topologicznych można rozwiązać kwantowy efekt Halla, został przywołany, zanim w badania zaangażowali się Michalakis i Hastings, jednak ci badacze dokonali jednego z dwóch założeń – albo że globalny widok przestrzeni matematycznej opisującej system był równy widokowi lokalnemu albo, że elektrony w układzie nie wchodziły ze sobą w interakcje. Pierwsze przyjęte założenie (matematyczne) było podejrzewane jako niepoprawne, podczas gdy drugie – fizyczne – nie było z kolei realistyczne.
W topologicznym stanie materii elektrony tracą swoją tożsamość, dostajemy bardziej rozproszony, stabilny, splątany system, który działa jak pojedynczy obiekt
– mówi Michalakis.
Naukowcy przed nami zdawali sobie już sprawę z tego, że tłumaczy to globalne właściwości kwantowej przewodności Halla, ale założyli, że widok w skali makro jest taki sam jak widok w skali mikro.
Grupie Michalakis i Hastings udało się usunąć te założenia, łącząc obraz globalny z obrazem lokalnym w nowatorski sposób. Aby zilustrować ich podejście, wyobraźmy sobie oddalenie jakiegoś obiektu od Ziemi. Widząc jednolitą kulę bez gór i dolin, można by pomyśleć, że można po takiej planecie podróżować bez przeszkód. Jednak kiedy znajdujemy się już na Ziemi, zdajemy sobie sprawę, że to niemożliwe – musimy przemierzać i góry i doliny. Tym, co daje rozwiązanie Michalakisa i Hastingsa w sensie matematycznym, jest identyfikacja otwartej, płaskiej ścieżki, która nie napotyka żadnych dolin ani szczytów, w istocie odpowiadającej temu, co postrzegaliśmy globalnie patrząc z daleka, a więc ze skali makro.
Używałem narzędzi Matta i związanych z nim pomysłów pochodzących z innych badań, aby pokazać, że taka ścieżka zawsze istnieje i że można ją łatwo znaleźć, jeśli ktoś wie, jak jej szukać
– mówi Michalakis.
Przewodzenie Halla, jak się okazuje, jest równe liczbie z jaką ścieżka wije się wokół topologicznych cech matematycznego kształtu opisującego kwantowy system Halla, co tłumaczy, dlaczego konduktancja Halla jest liczbą całkowitą i dlaczego jest tak odporna na zanieczyszczenia w materiale fizycznym.
Przetrawienie dowodu
Rzeczywisty dowód Michalakisa i Hastingsa jest oczywiście bardziej złożony; początkowy dowód wyniósł 40 stron rozumowania ściśle matematycznego, ale po drobiazgowym procesie redagowania zmniejszył się do 30 stron. Przedstawili oni swoje rozwiązanie w 2009 r., jednak eksperci potrzebowali czasu, aby przetrawić ich obliczenia i wyniki, a dowód nie został oficjalnie opublikowany w komunikatach dotyczących fizyki matematycznej aż do roku 2015.
Dwa i pół roku po jego opublikowaniu, społeczność fizyków matematycznych oficjalnie uznała rozwiązanie, zaznaczając problem na liście jako rozwiązany.
Sześć lat trwało, zanim artykuł na ten temat został opublikowany, a jeszcze dłużej zanim został zrozumiany i uzyskał uznanie, na który zasłużył
– powiedział Joseph Avron, profesor fizyki w Technion-Israel Institute of Technology, pisząc na ten temat w biuletynie Międzynarodowego Stowarzyszenia Fizyki Matematycznej z kwietnia 2018 r.
Mówi Michalakis:
Zestaw założeń niezbędnych do udowodnienia tezy okazał się mniejszy niż oczekiwali eksperci, co sugeruje, że makroskopowe efekty kwantowe, takie jak kwantowy efekt Halla, powinny powstawać w różnych ustawieniach, co otwiera nowe drzwi i sposoby myślenia o komputerach kwantowych i innych naukach kwantowych.
Źródło, foto: phys.org
