Mimo więc, że nie wiemy jaka jest największa liczba, to potrafimy jednak zdefiniować największą liczbę w zapisie. Tą liczbą jest liczba Grahama, której nie da się zapisać w układzie dziesiętnym ani w żadnym innym, ze względu na niewyobrażalną ilość cyfr (liczba cyfr jest większa od liczby atomów we Wszechświecie). Tym bardziej nie przedstawimy ilości jej cyfr na ekranie komputera. Liczby jej cyfr nie zna nawet sam jej odkrywca – Ronald Graham. Wymyślono więc specjalną notację, która umożliwia zapis tej liczby (tzw. notacja strzałkowa Knuth’a).
Aby zrozumieć zapis ogólny tej liczby musimy przywołać stare, dobre potęgowanie. Otóż – jak wiadomo 9- potęgowanie to skrócone mnożenie, bowiem:
mn = m x m x m (n razy).
Tak samo znajdujemy analogię pomiędzy potęgowaniem a notacją strzałkową, bowiem w ogólnym przypadku:
m↑n = m x m (n razy).
Przykłady:
5↑3 = 5 x 5 x 5 = 125.
3↑↑3 = 3↑(3 x 3 x 3) = 3↑(3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 327 = 76255974849.
No dobrze, weźmy teraz tą ostatnią liczbę i ujmijmy ją w ten sposób:
3↑↑↑3 = 376255974849 = …
Tej ostatniej liczby niestety nie „rozłożymy” już mnożeniem, dlatego że nie starczyłoby nam zeszytów na całej Ziemi, aby zapisać liczbę trójek iloczynu z jakich się składa; ba! nie starczyłoby zeszytów w całym Wszechświecie, a nawet i dwóch i trzech, i dziesięciu…
Żeby było mało, zdefiniujmy sobie jeszcze większą liczbę, którą oznaczmy w ten sposób:
G0 = 3↑↑↑↑3.
Nie próbujmy nawet myśleć ile ta liczba ma cyfr, bo to zadanie niewykonalne. Ale zdefiniujmy kolejną liczbę, monstrualnie większą od tej, którą właśnie podaliśmy wyżej:
G1 = 3↑↑…↑3. (G0 strzałek).
Nasza wyobraźnia niestety zawodzi, ale umysł podsuwa jeszcze większą liczbę:
G2 = 3↑↑…↑3. (G1 strzałek).
I tak po 64 krokach, aż dojdziemy do liczby G63, która ma G62 strzałki! To właśnie ta liczba stanowi największą liczbę na świecie czyli tzw. liczbę Grahama.
